Hallo,
ein Anspruch auf Erziehungsrente besteht nur, wenn eigene Kinder (im Sinne des § 46 Abs. 2 SGB VI) erzogen werden. Eigene Kinder können zwar neben den leiblichen Kindern auch Stiefkinder oder Pflegekinder sein; ein Stiefkindverhältnis besteht aber nur, wenn die/der Berechtigte mit dem leiblichen Elternteil verheiratet ist. Dann aber würde der Anspruch auf Erziehungsrente wegen der Wiederheirat entfallen. Ein Pflegekindschaftsverhältnis kann nur vorliegen, wenn das Pflegekind aus dem Haushalt der leiblichen Eltern vollständig ausgeschieden ist; dies ist somit bei der von Ihnen beschriebenen Konstellation also auch nicht gegeben.
Die nicht leiblichen Kinder der/des Berechtigten haben auch keinen Anspruch auf Waisenrente aus der Versicherung des verstorbenen Ehepartners, weil sie weder Stiefkinder noch Pflegekinder (des Verstorbenen) sind.
Unter welchen Voraussetzungen für die leiblichen Kinder ein Familienzuschlag durch den Dienstherrn des verbeamteten neuen Lebenspartners müssten Sie bei der zuständigen Besoldungsstelle erfragen. Hierzu können wir keine Auskünfte erteilen.