Hallo Travellady,
der Ablauf wurde Ihnen bereits zutreffend geschildert. Voraussetzung ist hierfür, dass Sie das Sterbevierteljahr bei der Post beantragt haben.
Ergänzend dazu noch zu Ihrer ersten Frage: Ob es sich bei der am 30.05.2019 eingegangenen Rente um die Mai- oder Juni-Rente handelt, hängt ganz davon ab, wann die Rente Ihres Mannes begonnen hat. Liegt der Rentenbeginn vor dem 01.04.2004, wurde die Rente vorschüssig gezahlt, d. h. es handelt sich tatsächlich um die Rente für Juni. Bei einem Rentenbeginn am dem 01.04.2004 erfolgt die Rentenzahlung nachschüssig, d. h. es wäre die Mai-Rente.