Hallo Jan,
ich möchte auf die Vorantworten verweisen.
Wenn sich weder dein Arbeitgeber, noch die Krankenkasse befähigt sehen, einen Sozialversicherungsausweis zu initiieren, dann solltest du dich an eine Auskunfts- und Beratungsstelle wenden.
Über die Online-Dienste der DRV ist nur eine erneute Ausstellung eines Sozialversicherungsausweises nach Verlust/Zerstörung oder bei Unbrauchbarkeit vorgesehen, allerdings keine erstmalige Ausstellung.
Daher bitte mit gültigem Personalausweis in einer Auskunfts- und Beratungsstelle vorstellig werden.