Die Voraussetzungen sind prinzipiell einfach: Der verstorbene Elternteil muss die allgemeine Wartezeit von 5 Jahren Beitragszeiten erfüllt haben und das Kind (Rentenberechtigter) muss nur noch einen unterhaltspflichtigen Elternteil haben. Die einmalige Unterhaltszahlung müsste in Ihrem Fall meines Erachtens vollkommen ausreichen. Es ist kein Vaterschaftstest oder so was notwendig (das haben Sie anscheinend gemeint).
Die Eltern waren im Zeitpunkt der Geburt nicht verheiratet? (Als Vater wird angenommen, wer im Zeitpunkt der Geburt mit der Mutter verheiratet ist...)
Dann ist derjenige der Vater, den die Mutter als Vater anerkannt hat, und der Vater die Vaterschaft auch bestätigte (wurde hier ja mit der Unterhaltszahlung bestätigt). Hoffe, das jetzt richtig geschrieben zu haben...
Halbwaisenrente gibts bis zum 18. Lebensjahr des Kindes. Danach auch noch, wenn das Kind in Schul- oder Berufsausbildung ist.
Waren Sie vom verstorbenen Elternteil geschieden, so können Sie eine Erziehungsrente beantragen. Ich würde Ihnen raten, sich dazu an eine Auskunfts- und Beratungsstelle Ihrer DRV zu wenden.