Hallo Renate,
die Rente steht prinzipiell immer für den gesamten Monat (incl. Sterbemonat) zu. Zu welchem Zeitpunkt die Rente ausgezahlt wurde, ist hierbei grundsätzlich ohne Bedeutung.
Wurde die Rente über den Sterbemonat hinaus geleistet, wird sie regelmäßig vom Postrentendienst direkt beim Kreditinstitut zurückgefordert. Nur wenn diese Rückforderung (z. B. mangels gedecktem Konto) ins Leere geht, wird vom Rentenversicherungsträger ein separates Rückforderungsverfahren nach § 118 Abs. 3 - 4a SGB VI eingeleitet.
Um unnötige Rückforderungen/Verfahren zu vermeiden, ist es durchaus sinnvoll, den Rentenversicherungsträger oder den Postrentendienst zeitnah über den Tod des Berechtigten zu informieren.