Hallo!
Die Bantwortung Ihrer Frage hängt davon ab, welchen Status Ihr Vater hat bzw. im Falle einer Aufnahme einer Tätigkeit in Italien haben würde.
Sofern Ihr Vater als Beamter später Ruhegehaltsbezüge erhalten würde, wäre für die damit verbundenen Fragen einer Auslandszahlung der Dienstherr Ihres Vaters der richtige Ansprechpartner.
Sollte Ihr Vater hier in Deutschland jedoch seinen Beamtenstatus verlieren, wäre evtl. eine Nachversicherung in der gesetzlichen Rentenversicherung durchzuführen. Bei einem Wohnsitz in der EU würden dann die in Deutschland erworbenen Rentenanwartschaften im Leistungsfall auch in das EU-Ausland gezahlt werden. Nur in diesem Fall wäre die gesetzliche Rentenversicherung beteiligt.